Analiza współczynnika przenoszenia ciepła fragmentu ściany zewnętrznej z oknem

Budynki, które już istnieją, charakteryzują się bardzo zróżnicowanymi właściwościami cieplnymi zarówno ścian, jak i stolarki okiennej. W takich wypadkach bardzo często podejmowanym przedsięwzięciem termomodernizacyjnym jest wymiana okien starych, nierzadko nieszczelnych i zimnych, na nowe, o bardzo dobrych parametrach cieplnych.

Przy montażu stolarki okiennej nie można zapomnieć o nowoczesnych metodach osadzania okien w ścianach osłonowych, dzięki którym następuje praktycznie całkowita eliminacja negatywnego wpływu liniowych mostków cieplnych na styku rama–ściana. Dzięki udoskonalaniu technologii projektowania, wyrobu i montażu stolarki okiennej producenci są w stanie proponować konsumentom okna o niestandardowych rozmiarach i kształtach, które nie tracą swych bardzo dobrych właściwości termoizolacyjnych.

Niezwykle często projektanci są postawieni przed problemem odpowiedniego doboru wymiarów stolarki okiennej do już istniejących ścian osłonowych o bardzo dobrych bądź wyjątkowo złych właściwościach cieplnych. W takiej sytuacji istnieje potrzeba doboru odpowiedniej strategii, której celem jest zapewnienie optymalnie wysokich właściwości cieplnych kompleksowej przegrody zewnętrznej (ściany z oknem) z doborem właściwych parametrów cieplnych i pól powierzchni poszczególnych elementów tworzących analizowaną przegrodę.

W związku z tą sytuacją celem przedstawionego badania jest analiza wpływu udziałów powierzchni elementów składowych (ściany, ramy i powierzchni szklonej) oraz parametrów fizykalnych charakteryzujących przenikanie ciepła w tych elementach (współczynników przenikania ciepła ściany, ramy i oszklenia) na współczynnik przenoszenia ciepła przez przenikanie ze strefy ogrzewanej do środowiska zewnętrznego fragmentu ściany zewnętrznej z oknem w budynku mieszkalnym, z opracowaniem deterministycznych modeli matematycznych zależności oraz określeniem wartości optymalnych badanych czynników.

Opis obiektu

Przegroda zewnętrzna każdego pomieszczenia mieszkalnego w budynkach mieszkalnych najczęściej jest fragmentem składającym się ze ściany i okna. Z uwzględnieniem nowych technologii montażu okien, dopuszczających szerokie możliwości zastosowania różnych rozwiązań ramy i różnorodnych typów oszklenia, z bardzo zróżnicowanymi cechami fizykalnymi zarówno w odniesieniu do ściany osłonowej, jak i samego okna, jako obiekt badania dla dalszej analizy przyjęto fragment ściany z trzema elementami: ścianą, ramą okienną i powierzchnią szkloną. Schematy takiego fragmentu pokazano na rys. 1.

Rozmiary fragmentu przegrody zewnętrznej uwzględniają rozwiązania przestrzenne pomieszczeń mieszkalnych i przyjęte zostały następująco:
2,80×3,60 m = 10,08 m².

W ramach tej wartości w badaniu zmieniały się różne kombinacje pól powierzchni okien, od rozmiaru 0,60×1,48 m = 0,888 m² do 3,00×1,48 m = 4,440 m².

Wysokość okna w analizowanym przypadku należało przyjąć jako wartość stałą, gdyż w oknach referencyjnych w budynkach mieszkalnych wynosi ona 1,48 m [2].

Powód przyjęcia wysokości okna jako parametru stałego w badaniu został wyjaśniony w dalszej części pracy.

Metoda obliczania współczynnika przenoszenia ciepła

Współczynnik przenoszenia ciepła przez przenikanie ze strefy ogrzewanej do środowiska zewnętrznego w przegrodach budowlanych jest jedną z najważniejszych wielkości przy obliczeniach zapotrzebowania ciepła na energię użytkową w budynkach ogrzewanych. Charakteryzuje on przenoszenie ciepła nie przez 1 m² (jak współczynnik przenikania ciepła U), lecz przez pewny fragment przegrody z polem powierzchni A_fr, zawierający kilka elementów składowych.

Oblicza się ten współczynnik wg wzoru [3]:

 (1)

gdzie:

b_tr,i - współczynnik redukcyjny obliczeniowej różnicy temperatur (przyjęto b_tr,i = 1);
A_i - pole powierzchni i-tej przegrody, [m²];
U_i - współczynnik przenikania ciepła i-tej przegrody, [W/(m²·K)];
l_i - długość liniowego mostka cieplnego, [m];
y_i - liniowy współczynnik przenikania ciepła mostka liniowego, [W/(m·K)].

Mimo prostego wyrazu, wzór (1) jest bardzo złożoną zależnością dla przeprowadzenia analizy czynnikowej. Nawet przy trzech elementach składowych wzór ten daje aż 10 czynników do przeanalizowania. Są to

A₁, A₂, A₃ - pola powierzchni odpowiednio oszklenia, ramy i ściany;
U₁, U₂, U₃ - współczynniki przenikania ciepła odpowiednio oszklenia, ramy i ściany;
l₁, l₂ - długości liniowe mostków cieplnych odpowiednio na styku szkło–rama i styku rama–ściana;
ψ₁, ψ₂ - liniowe współczynniki przenikania ciepła mostka liniowego odpowiednio na styku szkło–rama i styku rama–ściana.

Każdy dodatkowy element składowy zwiększa liczbę czynników o 4 lub 6 parametrów.

Jednak najtrudniejszym zadaniem dla przeprowadzenia analizy był warunek, którym są powiązane trzy pierwsze zmienne:

(2)

Do wykonania obliczeń H_tr,ie, zaplanowanych w eksperymencie obliczeniowym, autorzy stworzyli specjalny algorytm (rys. 2). Ten algorytm posłużył jako podstawa do opracowania autorskiego programu w Microsoft Excel.

Model matematyczny do określenia współczynnika przenoszenia ciepła przez przenikanie

Wstępna analiza czynników pozwoliła wykryć, że oprócz zmiennych A₁, A₂, A₃ oraz l₁ i l₂, pozostałe zmienne są sterowalne, mierzalne, wzajemnie niezależne, niesprzeczne i odpowiadają podstawowym wymaganiom modelowania matematycznego [4].

Zmienne l₁ i l₂ są zależne od A₁ i A₂ oraz niejednoznaczne. W celu zapewnienia jednoznaczności l₁ i l₂ wysokość okna przyjęto jako wartość stałą.

Zgodnie z przyjętym celem badania, współczynnik przenoszenia ciepła H_tr (funkcja celu Y) postanowiono zbadać w zależności od trzech czynników geometrycznych:

• udziałów powierzchni szklonej (czynnik z₁),
• powierzchni ramy (czynnik z₂),
• powierzchni ściany (czynnik z₃)

przy uwzględnieniu wpływu trzech czynników fizykalnych - współczynników przenikania ciepła:

• oszklenia U₁,
• ramy U₂,
• ściany U₃.

Pozostałe parametry przyjęto na stałym poziomie.

Ponieważ czynniki geometryczne z₁, z₂, z₃ są związane warunkiem (2), to do zbadania ich wpływu zastosowano planowanie sympleksowe dla trzech zmiennych w układzie „skład–własność” zawierającego N = 7 prób (tabela 1) [5].

Planowanie sympleksowe tradycyjnie stosuje się do opracowania modeli matematycznych zależności właściwości dowolnych mieszanek od udziału składników. Dzięki wykrytemu podobieństwu formalnemu autorzy zastosowali to podejście do rozwiązania zagadnienia z fizyki budowli.

Ten plan przewiduje określony układ realizacji obliczeń przy spełnieniu warunku z₁ + z₂ + z₃ = 1 i opracowanie modelu w postaci niepełnego wielomianu trzeciego stopnia dla trzech zmiennych:

  (3)

Wpływ niezależnych czynników fizykalnych U₁, U₂, U₃ może być uwzględniony poprzez realizację w każdym z siedmiu punktów planu sympleksowego dla Y = f(z₁, z₂, z₃) dodatkowo tradycyjnego planu trójczynnikowego dla Y = ƒ(U₁, U₂, U₃).

Po odpowiedniej obróbce wyników mielibyśmy model zależności Y od sześciu czynników, jednak postać tego modelu byłaby bardzo skomplikowana.

Dążąc do uproszczenia modelu oraz osiągnięcia celu badania, podjęto decyzję o opracowaniu modeli w postaci Y_i= ƒ(z₁, z₂, z₃) dla każdego z trzech następujących układów parametrów fizykalnych:

• model Y₁ – „dobre okno”:
  U₁= 0,70 W/(m²·K); U₂= 1,10 W/(m²·K); ψ₁ = ψ₂= 0,08 W/(m·K)
  + „dobra ściana”: U₃= 0,23 W/(m²·K);
• model Y₂ – „dobre okno”:
  U₁= 0,70 W/(m²·K); U₂= 1,10 W/(m²·K); ψ₁ = ψ₂ = 0,08 W/(m·K)
  + „zła ściana”: U₃= 0,75 W/(m²·K);
• model Y₃ – „złe okno”:
  U₁= 2,10 W/(m²·K); U₂= 3,30 W/(m²·K); ψ₁ = ψ₂ = 0,29 W/(m·K)
  + „dobra ściana”: U₃= 0,23 W/(m²·K).

Według planu (tabela 1) każdy z czynników z₁, z₂, z₃ należy rozpatrywać na czterech poziomach:

• 0;000;
• 0,333;
• 0,500;
• 1,000.

Ten warunek nie odpowiadał przyjętemu celowi, ponieważ nie miało sensu wykonywać badania w całym zakresie zmiany udziałów wybranych czynników (od 0 do 1).

Praktyczne znaczenie miały jedynie takie zakresy zmienności czynników, które odpowiadały realnym układam fragmentu ściany z oknem.

W związku z tym w badaniu zastosowano lokalne planowanie sympleksowe w warunkach ograniczenia zakresu zmienności wszystkich czynników [6]. Procedura realizacji tego podejścia została szczegółowo opisana w innych pracach autorów [7-8].

Na podstawie wstępnej analizy wybranego fragmentu ściany został wybrany podobszar obejmujący preferowane udziały elementów składowych: powierzchni szklonej (χ₁) - od 0,079 do 0,396; ramy (χ₂) - od 0,009 do 0,176; ściany (χ₃) - od 0,560 do 0,912.

Wartości udziałów składników określały współrzędne wierzchołków wybranego do badania podobszaru:

Wyżej wymieniony podobszar został transformowany do pełnego planu sympleksowego poprzez wprowadzenie pseudoskładników z₁, z₂, z₃, które w każdym u-tym układzie planu są związane z czynnikami rzeczywistymi χ₁, χ₂, χ₃ zależnością [6]:

   (4)

Poziomy zmienności czynników z₁, z₂, z₃ oraz odpowiadające im rzeczywiste czynniki χ₁, χ₂, χ₃ przedstawiono w tabeli 1.

Po przeprowadzeniu niezbędnych obliczeń możliwe było opracowanie modeli badanych cech w zależności od pseudoskładników (z₁, z₂, z₃).

Chcąc otrzymać modele matematyczne z czynnikami w postaci naturalnej (x₁, x₂, x₃), należało odkodować je przez podstawienie odpowiednich zależności.

Za pomocą wzorów, podanych w [5] opracowano zależności Y_i = ƒ(z₁, z₂, z₃):

• dla układu „dobre okno” + „dobra ściana”:

    (5)

• dla układu „dobre okno” + „zła ściana”:

    (6)

• dla układu „złe okno” + „dobra ściana”:

    (7)

Po sprawdzeniu adekwatności opracowanych modeli wg [5] (procedura ta została szczegółowo opisana przez autorów w [7]) uznano ich przydatność do dalszej analizy. Jednak najpierw otrzymano formuły związku pomiędzy współrzędnymi naturalnymi χ_i i systemem współrzędnych z_i:

   (8)

   (9)

   (10)

Analiza wyników badania

Do interpretacji wyników badania zastosowano modele (5), (6) i (7), na podstawie których opracowano wykresy w postaci izolinii badanych zależności od rozpatrywanych czynników we współrzędnych pseudoskładników z₁, z₂, z₃ (RYS. 3, RYS. 4 i RYS. 5) dla każdego z układów fragmentu ściany.

Te modele pozwoliły powiększyć badany podobszar do pełnych trójkątów sympleksowych, znacznie ułatwiając interpretację wyników. Natomiast merytoryczną interpretację wykonano na podstawie TAB. 1 przy zastosowaniu naturalnych współrzędnych χ₁, χ₂, χ₃.

Jak widać z RYS. 3,:

• najwyższą wartość (6,388 W/K) współczynnika przenoszenia ciepła Y₁ fragmentu dla układu „dobre okno” + „dobra ściana” uzyskano w wierzchołku Z₂ (punkt 2) przy χ₁ = 0,264; χ₂ = 0,176; χ₃ = 0,560 (TAB. 1),
• natomiast najniższą (3,420 W/K) w wierzchołku Z₃ (punkt 3) przy χ₁ = 0,079; χ₂ = 0,009; χ₃ = 0,912.

W sensie praktycznym oznacza to, że w badanym fragmencie ściany zamiana okna o powierzchni A_o3 = 1,48×0,60 = 0,887 m² z udziałem powierzchni szklonej do powierzchni okna C = 0,90 (co odpowiada parametrom dla punktu 2) na okno o powierzchni A_o2= 1,48×2,993 = 4,43 m² z udziałem powierzchni szklonej C = 0,60 (co odpowiada parametrom dla punktu 2) spowoduje wzrost współczynnika przenoszenia ciepła Y₁ fragmentu ściany z układem „dobre okno” + „dobra ściana” o 86,8%.

Zastosowanie w tym samym fragmencie standardowego okna o powierzchni A_os = 1,48×1,23 = 1,820 m² z udziałem powierzchni szklonej C = 0,70 i szerokości elementów ramy b_f= 0,11 m daje wartość współczynnika przenoszenia ciepła fragmentu Y₁= 4,189 W/K.

Z RYS. 4 wynika, że najwyższą wartość (9,320 W/K) współczynnika przenoszenia ciepła Y₂ fragmentu dla układu „dobre okno” + „zła ściana” uzyskano także w wierzchołku Z₂ (punkt 2) przy χ₁ = 0,264; χ₂ = 0,176; χ₃  = 0,560 (TAB. 1), natomiast najniższą (8,200 W/K) też w wierzchołku Z₃ (punkt 3) przy χ₁ = 0,079; χ₂ = 0,009; χ₃ = 0,912. Poziom średni Y₂ mocno wzrósł w porównaniu z Y₁, natomiast rola okna przy „złej” ścianie jest inna.

Wahania pól powierzchni oszklenia i ramy dają znacznie słabsze efekty w podwyższeniu Y₂. Tak przy zamianie w badanym fragmencie ściany okna o powierzchni A_o3= 1,48×0,60 = 0,887 m² z udziałem powierzchni szklonej do powierzchni okna C = 0,90 (co odpowiada parametrom dla punktu 3) na okno o powierzchni A_o2= 1,48×2,993 = 4,43 m² z udziałem powierzchni szklonej C = 0,60 (co odpowiada parametrom dla punktu 2) wzrost współczynnika przenoszenia ciepła Y² fragmentu ściany z układem „dobre okno” + „zła ściana” wynosi tylko 13,7%.

Zastosowanie w tym samym fragmencie standardowego okna dobrej jakości o powierzchni A_o1= 1,48×1,23 = 1,820 m² z udziałem powierzchni szklonej C = 0,70 i szerokości elementów ramy b_f= 0,11 m dało wartość współczynnika przenoszenia ciepła fragmentu Y₂= 8,484 W/K.

Porównując tę wartości z wartością Y₁, także uzyskaną przy zastosowaniu okna standardowego, można stwierdzić, że zła jakość ściany spowodowała wzrost współczynnika przenoszenia ciepła z 4,189 do 8,484 W/K, tj. o 102,5%.

Najwyższą wartość (17,364 W/K) współczynnika przenoszenia ciepła Y₃ fragmentu dla układu "złe okno" + "dobra ściana" uzyskano także w wierzchołku z₂ (punkt 2) (rys. 5) przy x₁ = 0,264; x₂ = 0,176; x₃ = 0,560 (tabela 1), natomiast najniższą (6,435 W/K) w tym samym wierzchołku Z₃ (punkt 3) przy x₁ = 0,079; x₂ = 0,009; x₃ = 0,912.

Rola okna przy jego "złej" jakości jest bardzo istotna. To wyraźnie widać przy ocenie wpływu pól powierzchni oszklenia i ramy na podwyższenie Y₃. Tak przy zamianie w badanym fragmencie ściany okna o powierzchni A_o3 = 1,48×0,60 = 0,887 m² z udziałem powierzchni szklonej do powierzchni okna C = 0,90 (co odpowiada parametrom dla punktu 3) na okno o powierzchni A_o2 = 1,48×2,993 = 4,43 m² z udziałem powierzchni szklonej C = 0,60 (co odpowiada parametrom dla punktu 2) wzrost współczynnika przenoszenia ciepła Y₃ fragmentu ściany z układem "złe okno" + "dobra ściana" wynosi aż 169,8%.

Zastosowanie w tym samym fragmencie standardowego okna złej jakości o powierzchni A_o1 = 1,48×1,23 = 1,820 m² z udziałem powierzchni szklonej C = 0,70 i szerokości elementów ramy b_f = 0,11 m daje wartość współczynnika przenoszenia ciepła Y₁ = 9,264 W/K. Porównując tę wartość z wartością Y₁, uzyskaną przy zastosowaniu okna standardowego wysokiej jakości, można stwierdzić, że zła jakość okna spowodowała wzrost współczynnika przenoszenia ciepła fragmentu z 4,189 do 9,264 W/K, tj. o 121,2%.

Wnioski

Za pomocą opracowanych modeli matematycznych oszacowano efekty wpływu udziałów pól powierzchni oszklenia, ramy i ściany oraz ich parametrów cieplnych na współczynnik przenoszenia ciepła fragmentu ściany z oknem w budynku mieszkalnym.

W przyjętym zakresie zmienności wahania pól powierzchni oszklenia i ramy mogą spowodować wzrost współczynnika przenoszenia ciepła fragmentu ściany z oknem o 86,8%.

W wypadku ściany niespełniającej obecnych wymagań ochrony cieplnej efekt wpływu wahań pól powierzchni oszklenia i ramy słabnie do kilkunastu procent. Główna rola w prawie dwukrotnym podwyższeniu współczynnika przenoszenia ciepła fragmentu należy do ściany.

Najgorszym rozwiązaniem fragmentu przegrody zewnętrznej okazał się wariant z wykorzystaniem okien o niskiej termoizolacji. Wzrost wpływu wahań pól powierzchni oszklenia i ramy na współczynnik przenoszenia ciepła osiąga wtedy 169,8%. Potwierdza to celowość wymiany okien w pierwszej kolejności przy częściowej termomodernizacji budynków.

Literatura

1. Rozporządzenie Ministra Infrastruktury w sprawie warunków technicznych, jakim powinny odpowiadać budynki i ich usytuowanie, z dnia 17 lipca 2015 r.
2. PN-EN 14351-1+A2:2016-10, „Okna i drzwi – Część 1: Okna i drzwi zewnętrzne bez właściwości dotyczących odporności ogniowej i/lub dymoszczelności”.
3. Rozporządzenie Ministra Infrastruktury i Rozwoju z dnia 27 lutego 2015 r. w sprawie metodologii wyznaczania charakterystyki energetycznej budynku lub części budynku oraz świadectw charakterystyki energetycznej.
4. J. Gutenbaum, „Modelowanie matematyczne systemów”. Wyd. EXIT, Warszawa 2003.
5. V.Z. Brodskiy, L.I. Brodskiy, T.I. Golikova i in., „Tablicy planov eksperimenta dla faktornyh i polinomial’nyh modelej”, Metalurgiâ, Moskva 1982.
6. I.G. Zedginidze, „Matematiczeskoje planirovanie eksperymenta dla issledovaniâ i optimizacii svoistv smesej”, Mecniereba, Tbilisi 1986.
7. 7. W. Jezierski, J. Borowska, „Model matematyczny współczynnika przenikania ciepła ściany osłonowej z oknem z uwzględnieniem powierzchni elementów składowych”, „Izolacje” 1/2018, s. 50–54.

Chcesz być na bieżąco? Zapisz się do naszego newslettera!